Q3.

Determine assíntotas horizontais de f(x)=\frac{|x-4|}{3 x-1} ?
(a) y=\frac{1}{3}, y=-\frac{1}{3}
(b) y=0
(c) x=1, x=-1
(d) y=\frac{1}{3}, x=-\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais da função
f(x)=\frac{|x-4|}{3x-1}.
O conteúdo usado aqui é o cálculo de limites em x\to+\infty e x\to-\infty, observando como o valor de |x-4| se comporta para x grande positivo ou grande negativo.

Passo 2

Para x\to+\infty, temos x>4 de modo que |x-4|=x-4. Então
f(x)=\frac{x-4}{3x-1}.
Dividindo numerador e denominador por x,
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\tfrac{4}{x}}{3-\tfrac{1}{x}} =\frac{1-0}{3-0} =\frac{1}{3}.

Passo 3

Para x\to-\infty, temos x<4 (e na verdade x-4<0), então |x-4|=-(x-4)=-x+4. Assim
f(x)=\frac{-x+4}{3x-1}.
Novamente dividindo por x,
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\lim_{x\to-\infty}\frac{-1+\tfrac{4}{x}}{3-\tfrac{1}{x}} =\frac{-1+0}{3-0} =-\frac{1}{3}.

Passo 4

Concluímos que as assíntotas horizontais são
y=\frac{1}{3} \quad\text{e}\quad y=-\frac{1}{3},
o que corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

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