Considere a função
f(x)= \begin{cases}2-x, & \text { se } x<-1 \\\ x, & \text { se }-1 \leq x<1 \\\ (2 x-1)^{2}, & \text { se } x \geq 1\end{cases}
Determine os valores de p para os quais \lim _{x \rightarrow p} f(x) existe e justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 2 - x, & x < -1,\\\ x, & -1 \le x < 1,\\\ (2x - 1)^2, & x \ge 1, \end{cases}
e pede para quais p o limite \lim_{x\to p}f(x) existe.
Para existir \lim_{x\to p}f(x), precisamos que os limites laterais em p coincidam.

Passo 2

Considere um ponto p estritamente dentro de cada região onde a definição é única:
  • Se p < -1, então em torno de p vale sempre f(x)=2-x, que é contínua. Logo
\lim_{x\to p}f(x)=2-p\quad\text{existe.}
  • Se -1 < p < 1, então em torno de p vale f(x)=x, contínua, e
\lim_{x\to p}f(x)=p\quad\text{existe.}
  • Se p > 1, então em torno de p vale f(x)=(2x-1)^2, contínua, e
\lim_{x\to p}f(x)=(2p-1)^2\quad\text{existe.}

Passo 3

Verifique p=-1.
\lim_{x\to -1^-}f(x)=\lim_{x\to -1^-}(2-x)=2-(-1)=3,
\lim_{x\to -1^+}f(x)=\lim_{x\to -1^+}x=-1.
Como 3\neq -1, não existe \lim_{x\to -1}f(x).

Passo 4

Verifique p=1.
\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}x=1,
\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(2x-1)^2=(2\cdot1-1)^2=1.
Como os dois lados dão 1, existe \lim_{x\to 1}f(x)=1.

Resposta

O limite \lim_{x\to p}f(x) existe para todo p\in\mathbb{R} exceto em p=-1. Em notação de intervalo:
p\in(-\infty,-1)\,\cup\,(-1,\infty).

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