O valor da derivada da função
f(x)=\ln (1-x \cos x)
em x=0 é:
a) 0
b) -1
c) 1
d) -\pi
e) \pi

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(1 - x\cos x\bigr)
no ponto x=0. O conteúdo envolve derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de produto (para x\cos x).

Passo 2

Definimos g(x)=1 - x\cos x. Aplicando a derivada de produto em x\cos x:
\frac{d}{dx}\bigl(x\cos x\bigr) =\underbrace{\frac{d}{dx}(x)}_{=1}\cos x + x\underbrace{\frac{d}{dx}(\cos x)}_{=-\sin x} =\cos x - x\sin x.
Logo,
g'(x)=0 - (\cos x - x\sin x)=-\cos x + x\sin x.

Passo 3

Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{-\cos x + x\sin x}{1 - x\cos x}.
Em x=0 temos \cos0=1, \sin0=0 e 1-0\cdot\cos0=1. Então
f'(0)=\frac{-1 + 0}{1}=-1.

Resposta

b) -1

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