Considere a função bilinear e simétrica f: R^2 times R^2 R definida por
f((x1, x2),(y1, y2))=x1 y1-2 x1 y2-2 x2 y1+k x2 y2
Detemine os valores de k que tornam a função f um produto interno.

Passo 1

O enunciado nos dá uma forma bilinear simétrica
fl((x1,x2),(y1,y2)r)=x1y1-2x1y2-2x2y1+k,x2y2
e pede os valores de k que fazem de f um produto interno em R^2.
Para isso precisamos que f seja positiva-definida, ou seja,
f(v,v)>0forall,vneq0

Passo 2

Vamos escrever f como
f(v,w)=v^TA,w
em relação à base canônica de R^2. Basta ler os coeficientes de f e montar a matriz
A = 1 & -2 -2 & k
Como f já é simétrica, A é simétrica.

Passo 3

Uma matriz simétrica 2times2 é positiva-definida se, e somente se, seus menores principais forem positivos.
  1. Primeiro menor principal:
a11=1>0
  1. Determinante de A:
det A = 1cdot k - (-2)cdot(-2) = k - 4
Precisamos de det A>0, ou seja,
k - 4 > 0 Longrightarrow k>4

Resposta

k>4

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