Seja A=[cc0 & 2 -1 & 3].
Determine os autovalores e os autovetores associados.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores e os autovetores da matriz
A = 0 & 2 -1 & 3
O conteúdo necessário é o cálculo do polinômio característico det(A - lambda I) e a resolução dos sistemas (A - lambda I)v = 0 para cada autovalor lambda.

Passo 2

Formamos a matriz A - lambda I e calculamos seu determinante:
A - lambda I = 0-lambda & 2 -1 & 3-lambda = -lambda & 2 -1 & 3-lambda,
det(A - lambda I) = (-lambda)(3-lambda) - (2)(-1) = -3lambda + lambda^2 + 2 = lambda^2 - 3lambda + 2

Passo 3

Resolvendo lambda^2 - 3lambda + 2 = 0 por fatoração:
lambda^2 - 3lambda + 2 = (lambda - 1)(lambda - 2) = 0,
logo os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = 2

Passo 4

Para lambda1 = 1, resolvemos
(A - I)v = 0 Longrightarrow -1 & 2 -1 & 2 x y = 0 0
Da primeira equação -x + 2y = 0 obtemos x = 2y.
Escolhendo y = 1, um autovetor correspondente é
v1 = 2 1

Passo 5

Para lambda2 = 2, resolvemos
(A - 2I)v = 0 Longrightarrow -2 & 2 -1 & 1 x y = 0 0
Da primeira equação -2x + 2y = 0 obtemos x = y.
Escolhendo y = 1, um autovetor correspondente é
v2 = 1 1

Resposta

Autovalores:
lambda1 = 1, lambda2 = 2
Autovetores associados:
v1 = 2 1 para lambda1=1, v2 = 1 1 para lambda2=2

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