Seja A=[cc0 & 2 -1 & 3].
Usando o item anterior calcule A^5.

Passo 1

O enunciado pede para calcular ,A^5 onde
A = 0 & 2 -1 & 3
O conteúdo aqui é cálculo de potências de matrizes usando diagonalização. Para isso, vamos ( 1) achar o polinômio característico de A e seus autovalores, ( 2) determinar autovetores e montar a matriz de passagem P, ( 3) diagonalizar A em PDP^-1 e, finalmente, ( 4) calcular A^5 = P,D^5,P^-1.

Passo 2

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) =det!-lambda & 2-1 & 3-lambda =lambda^2 -3lambda +2 =(lambda-1)(lambda-2)
Logo os autovalores são lambda1=1 e lambda2=2.

Passo 3

Para , resolvemos :
escolhendo fica o autovetor .
Para , resolvemos :
tomando obtemos .
Assim montamos
Como ,

Passo 4

Diagonalizamos A via
A = P,D,P^-1 Longrightarrow A^5 = P,D^5,P^-1
Como
D^5 = 1^5 & 00 & 2^5 =1 & 00 & 32,
temos primeiro
P,D^5 = 2 & 11 & 1 1 & 00 & 32 = 2 & 321 & 32
Em seguida
A^5 =2 & 321 & 32 1 & -1-1 & 2 = 2cdot1 +32cdot(-1) & 2cdot(-1)+32cdot2[6pt] 1cdot1 +32cdot(-1) & 1cdot(-1)+32cdot2 = -30 & 62-31 & 63 ]

Resposta

A^5 = -30 & 62-31 & 63

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