A derivada de
y=raiz[5]1x^10
é da forma
d yd x=n x^m
para certos números m e n. Qual o valor de -5 cdot(m+n) ?

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = raiz[5]1x^10
e quer saber o valor de -5,(m+n) quando
dydx=n,x^m.
O conteúdo envolvido é simplificação de potências e aplicação da regra de potenciação na derivação.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a função como potência de x. Temos
y = l(x^-10r)^tfrac15
e pela propriedade de potências l(a^br)^c = a^b,c,
y = x^-10cdot15 = x^-2

Passo 3

Agora aplicamos a regra de derivação de potências, que diz que
ddxl(x^kr) = k,x^k-1
Aqui k=-2, logo
dydx = -2,x^-2-1 = -2,x^-3

Passo 4

Comparando com dydx=n,x^m, vemos que
n = -2, m = -3

Passo 5

Finalmente, calculamos
-5,(m+n) = -5,l(-3 + (-2)r) = -5,(-5) = 25

Resposta

25

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