Considere a função
f(x, y)=(x-1) e^x+e^y+x yx^2+y^2 se (x, y) neq(0,0),
f(x, y)=0 se (x, y)=(0,0).
Calcular, caso exista, o valor de partial^2 fpartial x^2(0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)= (x-1)e^x+e^y+x,yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede partial^2fpartial x^2(0,0). Vamos usar a definição de derivadas parciais ao longo do eixo x: primeiro calcular partial f/partial x em (0,0) e depois aplicar novamente a derivada em x.

Passo 2

Para obter partial fpartial x(0,0) usamos
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como y=0 elimina a fração, para hneq0
f(h,0)=(h-1)e^h+e^0=(h-1)e^h+1,
e f(0,0)=0. Logo o quociente é
(h-1)e^h+1h
Expandindo em série em h vê-se que o numerador é h^2/2+O(h^3), de modo que o limite vale 0. Assim
partial fpartial x(0,0)=0

Passo 3

Agora calculamos partial fpartial x(x,0) para xneq0. Ainda em y=0 temos
f(x,0)=(x-1)e^x+1,
cuja derivada em x é, pelo produto,
partial fpartial x(x,0) =ddxl[(x-1)e^xr] =(x-1)e^x+e^x =x,e^x
Note que em x=0 isso coincide com 0cdot e^0=0.

Passo 4

Por fim, a segunda derivada parcial em (0,0) é
partial^2fpartial x^2(0,0) =limhto0partial fpartial x(h,0)-partial fpartial x(0,0)h =limhto0h,e^h-0h =limhto0e^h =1

Resposta

partial^2fpartial x^2(0,0)=1

Exercícios relacionados