Considere a função se , se .
Calcular, caso exista, o valor de .
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede partial^2fpartial x^2(0,0). Vamos usar a definição de derivadas parciais ao longo do eixo x: primeiro calcular partial f/partial x em (0,0) e depois aplicar novamente a derivada em x.
Passo 2
Para obter partial fpartial x(0,0) usamos
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como y=0 elimina a fração, para hneq0
f(h,0)=(h-1)e^h+e^0=(h-1)e^h+1,
e f(0,0)=0. Logo o quociente é
(h-1)e^h+1h
Expandindo em série em h vê-se que o numerador é h^2/2+O(h^3), de modo que o limite vale 0. Assim
partial fpartial x(0,0)=0
Passo 3
Agora calculamos partial fpartial x(x,0) para xneq0. Ainda em y=0 temos