Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o limite quando
. Note que em
o numerador e o denominador tendem a zero, ou seja, temos a forma
, então é preciso verificar se o limite existe ou depende da trajetória de aproximação.
Passo 2
Analisamos primeiro a aproximação pela reta
. Neste caso
Como
temos
e, portanto,
Logo, ao longo de
,
Passo 3
Agora usamos uma reta mais geral escrita como
onde
é um parâmetro constante. Então, perto de
temos
e
Agrupando termos de ordem
e
,
Assim,
Portanto,
Passo 4
Note que o valor
depende de
. Por exemplo, para
obtemos
(que era o caso da reta
), mas para
obtemos
. Como diferentes trajetórias dão limites diferentes, o limite de
em
não existe.
Resposta
O limite não existe.