Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
f(x, y)=x-2x^2+y^2-5.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x-2x^2+y^2-5
e pede o limite quando (x,y)to(2,1). Note que em (2,1) o numerador e o denominador tendem a zero, ou seja, temos a forma tfrac00, então é preciso verificar se o limite existe ou depende da trajetória de aproximação.

Passo 2

Analisamos primeiro a aproximação pela reta x=2. Neste caso
x-2=0 e x^2+y^2-5=4+y^2-5=y^2-1
Como yto1 temos y^2-1to0 e, portanto,
f(2,y)=0y^2-1=0
Logo, ao longo de x=2,
lim(x,y)to(2,1),,x=2f(x,y)=0

Passo 3

Agora usamos uma reta mais geral escrita como
x-2 = k,(y-1),
onde k é um parâmetro constante. Então, perto de (2,1) temos
x-2 approx k,(y-1),
e
x^2+y^2-5 =(2+k(y-1))^2 + y^2-5 =4 +4k(y-1) + k^2(y-1)^2 + (1+2(y-1)+(y-1)^2) -5
Agrupando termos de ordem 1 e y-1,
x^2+y^2-5 approx (4+1-5) + (4k+2)(y-1) = (4k+2)(y-1) + O((y-1)^2)
Assim,
f(x,y) approx k,(y-1)(4k+2)(y-1) =k4k+2
Portanto,
lim(x,y)to(2,1),,x-2=k(y-1)f(x,y) =k4k+2

Passo 4

Note que o valor tfrack4k+2 depende de k. Por exemplo, para k=0 obtemos 0 (que era o caso da reta x=2), mas para k=1 obtemos tfrac16neq0. Como diferentes trajetórias dão limites diferentes, o limite de f(x,y) em (2,1) não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados