Demonstre, por indução, as seguintes identidades:
(1+11)(1+12)^2 cdots(1+1n)^n=(n+1)^nn!

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos demonstrar, por indução, que
prodk=1^nl(1+1kr)^k ;=;(n+1)^nn!
O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática, que envolve verificar o caso base e em seguida provar o passo indutivo.

Passo 2

Caso base n=1.
O lado esquerdo fica
prodk=1^1l(1+1kr)^k ;=;l(1+11r)^1 ;=;2,
e o lado direito é
(1+1)^11! ;=;2^11 ;=;2
Portanto a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum n>=1, valha
prodk=1^nl(1+1kr)^k ;=;(n+1)^nn!

Passo 4

Passo indutivo: devemos mostrar que a fórmula vale para n+1. Começamos escrevendo
prodk=1^n+1l(1+1kr)^k =l(prodk=1^nl(1+1kr)^kr)timesl(1+1n+1r)^n+1
Pela hipótese de indução isso é
(n+1)^nn!timesl(n+2n+1r)^n+1 =(n+1)^nn!times(n+2)^n+1(n+1)^n+1 =(n+2)^n+1(n+1),n! =(n+2)^n+1(n+1)!,
que é exatamente o lado direito para n+1.

Resposta

A identidade
prodk=1^nl(1+1kr)^k ;=;(n+1)^nn!
vale para todo ninN por indução matemática.

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