Demonstre, por indução, as seguintes identidades:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos demonstrar, por indução, que
O conteúdo aqui é o princípio da indução matemática, que envolve verificar o caso base e em seguida provar o passo indutivo.
Passo 2
Caso base
.
O lado esquerdo fica
O lado esquerdo fica
e o lado direito é
Portanto a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum
, valha
Passo 4
Passo indutivo: devemos mostrar que a fórmula vale para
. Começamos escrevendo
Pela hipótese de indução isso é
que é exatamente o lado direito para
.
Resposta
A identidade
vale para todo
por indução matemática.