As estaturas de cinco jogadores iniciantes em um time de basquete apresentam média aritmética de 76 polegadas (aproximadamente 1,73 m ), mediana de 78 polegadas (aproximadamente 1,78 m ) e uma amplitude de 11 polegadas (aproximadamente 28 cm ).
a. Se o mais alto desses cinco jogadores for substituído por um reserva que seja duas polegadas mais alto, encontre a nova média aritmética, a nova mediana e a nova amplitude.
b. Caso o jogador mais alto venha a ser substituído por um reserva que seja quatro polegadas mais baixo que ele, qual dentre os novos valores (média aritmética, mediana e amplitude) você poderia determinar, e quais seriam então seus respectivos novos valores?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um time de basquete com 5 jogadores. As estaturas (em polegadas) satisfazem:
  • Média aritmética de 76 polegadas.
  • Mediana de 78 polegadas.
  • Amplitude (diferença entre maior e menor) de 11 polegadas.
Conteúdo: medidas de posição (média, mediana) e de dispersão (amplitude).
O que vamos precisar:
  1. Definição de média: bar x = sumi=1^5 xi5.
  2. Definição de mediana (como achar o valor do meio).
  3. Definição de amplitude: R = xmax - xmin.
  4. Saber como mudam soma e ordenação quando trocamos um valor do conjunto.

Passo 2

Primeiro, nomeiaremos as alturas ordenadas:
x1 <= x2 <= x3 <= x4 <= x5
Então:
  1. bar x = x1+x2+x3+x4+x55 = 76 implies sumi=1^5 xi = 380
  2. Mediana é x3 = 78
  3. Amplitude R = x5 - x1 = 11
Quando a gente substitui x5 por um novo valor x5', a soma vira
sum' = sumi=1^5 xi - x5 + x5',
e a média é
bar x' = sum'5
A mediana muda se a posição do valor no ranking mudar. A amplitude vira R' = x5' - x1 (se x1 não mudar).

Passo 3

Parte (a): substituem o mais alto por alguém 2 polegadas mais alto, ou seja
x5' = x5 + 2
  • Soma nova: sum' = 380 - x5 + (x5 + 2) = 380 + 2 = 382
  • Nova média:
bar x' = 3825 = 76,4
  • A mediana continua sendo o terceiro valor ordenado. Como x5' é ainda o maior, o meio continua x3 = 78
  • A nova amplitude:
R' = x5' - x1 = (x5+2) - x1 = (x5 - x1) + 2 = 11 + 2 = 13

Passo 4

Parte (b): agora substituem por alguém 4 polegadas mais baixo, ou seja
x5' = x5 - 4
  • Soma nova: sum' = 380 - x5 + (x5 - 4) = 380 - 4 = 376
  • Nova média:
bar x' = 3765 = 75,2
  • Nova amplitude:
R' = x5' - x1 = (x5-4) - x1 = (x5 - x1) - 4 = 11 - 4 = 7
  • A mediana a gente não consegue determinar com certeza porque x5' pode acabar ficando abaixo ou acima de x4, e isso muda quem é o terceiro valor.

Resposta

a) Nova média =76,4, nova mediana =78, nova amplitude =13.
b) Podemos determinar média =75,2 e amplitude =7. A mediana não dá para saber sem mais informações.

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