Use a Fórmula 3 do comprimento de arco para encontrar o comprimento da curva y=2-3 x,-2 <= x <= 1. Verifique o seu resultado notando que a curva é um segmento de reta e calculando seu comprimento pela fórmula da distância.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por y=2-3x no intervalo -2<= x<=1. O conteúdo principal é o uso da fórmula de comprimento de arco para funções do tipo y=f(x), que é
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2;dx
Vamos calcular f'(x), depois avaliar a integral de -2 até 1.

Passo 2

Calculamos a derivada de y=2-3x. Como é uma reta de coeficiente angular -3, temos
f'(x) = ddx(2 - 3x) = -3

Passo 3

Substituímos f'(x)=-3 na fórmula de comprimento de arco:
L = integral-2^1 raiz1 + (-3)^2;dx = integral-2^1 raiz1 + 9;dx = integral-2^1 raiz10;dx
Como raiz10 é constante, fica
L = raiz10,l[,xr]-2^1 = raiz10,(1 - (-2)) = 3raiz10

Passo 4

Para verificar, note que a curva é exatamente o segmento de reta que liga os pontos em x=-2 e x=1. Calculamos esses pontos:
x=-2implies y=2-3(-2)=8e x=1implies y=2-3(1)=-1
Então os extremos são (-2,8) e (1,-1). A distância entre eles é
raiz(1 - (-2))^2 + l(-1 - 8r)^2 = raiz3^2 + (-9)^2 = raiz9 +81 = raiz90 = 3raiz10,
que confere com o resultado pelo arco.

Resposta

O comprimento da curva é 3raiz10.

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