Considere a função
f(x, y)=cl (x-1) e^x+e^-y+x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Calcular, caso existam, os valores partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0). (2,2pt)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= (x-1)e^x + e^-y + dfracx yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0). Vamos usar a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h, partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h

Passo 2

Para partial fpartial x(0,0) analisamos f(h,0) com hneq0. Como y=0 vale
f(h,0)=(h-1)e^h + e^0 + hcdot0h^2+0 =(h-1)e^h +1
Logo o quociente de diferença é
f(h,0)-f(0,0)h =(h-1)e^h +1 - 0h =(h-1)e^h +1h

Passo 3

Expandindo em série de Taylor para obtemos
Dividindo por e fazendo ,
Portanto

Passo 4

Para partial fpartial y(0,0) calculamos f(0,h) com hneq0. Como x=0 temos
f(0,h)=(0-1)e^0 + e^-h + 0cdot h0+h^2 =-1 + e^-h
O quociente de diferença é
f(0,h)-f(0,0)h =-1 + e^-hh

Passo 5

Expandindo obtemos
logo
Portanto

Resposta

partial fpartial x(0,0)=0
partial fpartial y(0,0)=-1

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