Questão 2.
O conjunto de funções
é linearmente dependente ou linearmente independente em
? Discuta.
Passo 1
O enunciado pergunta se as funções
e
são linearmente dependentes ou independentes em
. O assunto aqui é dependência linear de funções, e vamos usar a definição de combinação linear que resulte na função nula.
Passo 2
Pra começar, dependência linear diz que existem constantes
e
, nem todas zero, tais que
para todo
no domínio. Se essa combinação não trivial existir, as funções são dependentes; senão, são independentes.
Passo 3
Observa que as duas funções têm a mesma base exponencial
. Dá pra escrever:
e
. Ou seja, ambas são múltiplos de
.
Passo 4
Isso significa que basta achar
e
não nulos que façam
. Por exemplo, tomando
e
, temos:
Passo 5
Passo 6
Aí está a combinação linear não trivial que zera a soma para todo
. Então as funções são dependentes.
Passo 7
Como encontramos coeficientes não todos zero que satisfazem a definição, concluímos a dependência linear.
Resposta
As funções são linearmente dependentes em (-∞, ∞).