Questão 2.

O conjunto de funções f1(x)=e^x+2, f2(x)=e^x-3 é linearmente dependente ou linearmente independente em (-infty, infty) ? Discuta.

Passo 1

O enunciado pergunta se as funções f1(x)=e^x+2 e f2(x)=e^x-3 são linearmente dependentes ou independentes em (- abla,infty). O assunto aqui é dependência linear de funções, e vamos usar a definição de combinação linear que resulte na função nula.

Passo 2

Pra começar, dependência linear diz que existem constantes c1 e c2, nem todas zero, tais que c1 f1(x) + c2 f2(x)=0 para todo x no domínio. Se essa combinação não trivial existir, as funções são dependentes; senão, são independentes.

Passo 3

Observa que as duas funções têm a mesma base exponencial e^x. Dá pra escrever: f1(x)=e^2cdot e^x e f2(x)=e^-3cdot e^x. Ou seja, ambas são múltiplos de e^x.

Passo 4

Isso significa que basta achar c1 e c2 não nulos que façam c1 e^2 + c2 e^-3=0. Por exemplo, tomando c1=e^-2 e c2=-e^3, temos:

Passo 5

e^-2cdot e^x+2+(-e^3)cdot e^x-3=e^-2+2e^x-e^3-3e^x=e^x-e^x=0

Passo 6

Aí está a combinação linear não trivial que zera a soma para todo x. Então as funções são dependentes.

Passo 7

Como encontramos coeficientes não todos zero que satisfazem a definição, concluímos a dependência linear.

Resposta

As funções são linearmente dependentes em (-∞, ∞).

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