Considere a função
f(x, y)=cl (x-1) e^x+e^-y+x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Seja f(x, y)=5 x y^2-x^2 y. Calcule a derivada direcional de f no ponto P0=(1,1), (1,0pt) na direção do vetor u=(3,4).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=5xy^2-x^2y
no ponto P0=(1,1) na direção do vetor u=(3,4).
Para isso usamos a fórmula
Duf(P0)=nabla f(P0)cdotu^land,
onde nabla f é o gradiente de f e u^land é o vetor unitário na direção de u.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f e avaliamos em P0.
nabla f(x,y) =l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) =(5y^2-2xy,;10xy - x^2)
Em P0=(1,1) obtemos
nabla f(1,1)=(5cdot1^2-2cdot1cdot1,;10cdot1cdot1-1^2)=(3,,9)

Passo 3

Normalizamos o vetor u=(3,4). Seu comprimento é
|u|=raiz3^2+4^2=5,
logo o vetor unitário é
u^land=l(35,,45r)

Passo 4

Aplicamos a definição de derivada direcional:
Duf(1,1) =nabla f(1,1)cdotu^land =(3,,9)cdotl(35,,45r) =3cdot3+9cdot45 =9+365 =9

Resposta

A derivada direcional de f em (1,1) na direção de (3,4) é 9.

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