Considere a função
f(x)=-3 x1-e^x
Calcule
lim x -infty f(x) lim x 0^- f(x) lim x 0^+ f(x) lim x +infty f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=-3x1-e^x
e pede os seguintes limites:
limxto-inftyf(x), limxto0^-f(x), limxto0^+f(x) e limxto+inftyf(x).
Para isso vamos usar o comportamento de e^x em pminfty e um desenvolvimento em série de e^x perto de zero.

Passo 2

Para xto-infty temos e^xto0, logo
1-e^x;to;1
Assim
f(x)sim-3x1=-3x;to;+infty

Passo 3

Para xto+infty temos e^xto+infty, de modo que
1-e^xsim -,e^x
Logo
f(x)sim-3x-e^x=3xe^x;to;0,
pois e^x cresce muito mais rápido que x.

Passo 4

Para x próximo de zero usamos o desenvolvimento
e^x=1+x+o(x),
ou seja
1-e^x=-x+o(x)
Então
f(x)=-3x-x+o(x) =3;xx;11+o(1) to3

Passo 5

Como o resultado do passo anterior independe do sinal de x próximo de zero, temos
limxto0^-f(x)=3 e limxto0^+f(x)=3.

Resposta

limxto-inftyf(x)=+infty
limxto0^-f(x)=3
limxto0^+f(x)=3
limxto+inftyf(x)=0

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