Seja f(x)=llx^2+2 x, & se x<0 sen(x), & se x >= 0. Prove que f é contínua em x=0, mas que f não é diferenciável em x=0 utilizando as derivadas laterais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
f(x) = x^2 + 2x, & se x < 0 sin(x), & se x >= 0
O exercício pede pra gente provar que essa função é contínua em x = 0 e que ela não é diferenciável em x = 0 . Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade e derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a função é contínua em x = 0 . Continuar significa que o limite da função quando x se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0.
Então, precisamos calcular:
  1. limx to 0^- f(x) (limite pela esquerda)
  2. limx to 0^+ f(x) (limite pela direita)
  3. f(0)

Passo 3

Vamos achar o limite pela esquerda:
Para x < 0 , f(x) = x^2 + 2x .
Então,
limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (x^2 + 2x) = 0^2 + 2 cdot 0 = 0

Passo 4

Agora, o limite pela direita:
Para x >= 0 , f(x) = sin(x) .
Então,
limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ sin(x) = sin(0) = 0

Passo 5

E o valor da função em x = 0 :
Como x >= 0 inclui x = 0 , temos f(0) = sin(0) = 0 .

Passo 6

Como todos os limites e o valor da função em 0 são iguais a 0, concluímos que:
limx to 0 f(x) = f(0) = 0
Então, a função é contínua em x = 0 .

Passo 7

Agora, vamos ver se a função é diferenciável em x = 0 . Para isso, vamos calcular as derivadas laterais:
  1. Derivada pela esquerda: f'-(0)
  2. Derivada pela direita: f'+(0)
Se essas duas derivadas forem iguais, a função é diferenciável. Se não, não é.

Passo 8

Primeiro, a derivada pela esquerda.
Para x < 0 , f(x) = x^2 + 2x . A derivada é:
f'(x) = 2x + 2
Então,
f'-(0) = limx to 0^- (2x + 2) = 2 cdot 0 + 2 = 2

Passo 9

Agora, a derivada pela direita.
Para x >= 0 , f(x) = sin(x) . A derivada é:
f'(x) = cos(x)
Então,
f'+(0) = limx to 0^+ cos(x) = cos(0) = 1

Passo 10

Comparando as derivadas:
f'-(0) = 2 e f'+(0) = 1
Como 2 é diferente de 1, as derivadas laterais não são iguais.

Resposta

A função f(x) é contínua em x = 0 , mas não é diferenciável em x = 0 porque as derivadas laterais são diferentes.

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