Seja
. Prove que
é contínua em
, mas que
não é diferenciável em
utilizando as derivadas laterais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
O exercício pede pra gente provar que essa função é contínua em
e que ela não é diferenciável em
. Para isso, vamos precisar saber sobre continuidade e derivadas laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a função é contínua em
. Continuar significa que o limite da função quando
se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0.
Então, precisamos calcular:
-
(limite pela esquerda) -
(limite pela direita) -
Passo 3
Vamos achar o limite pela esquerda:
Para
,
.
Então,
Passo 4
Agora, o limite pela direita:
Para
,
.
Então,
Passo 5
E o valor da função em
:
Como
inclui
, temos
.
Passo 6
Como todos os limites e o valor da função em 0 são iguais a 0, concluímos que:
Então, a função é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos ver se a função é diferenciável em
. Para isso, vamos calcular as derivadas laterais:
- Derivada pela esquerda:
- Derivada pela direita:
Se essas duas derivadas forem iguais, a função é diferenciável. Se não, não é.
Passo 8
Primeiro, a derivada pela esquerda.
Para
,
. A derivada é:
Então,
Passo 9
Agora, a derivada pela direita.
Para
,
. A derivada é:
Então,
Passo 10
Comparando as derivadas:
Como 2 é diferente de 1, as derivadas laterais não são iguais.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é diferenciável em
porque as derivadas laterais são diferentes.