Considere a função
f(x, y)=clx y^2x^2+y^2 & ,(x, y) neq(0,0) 0 & ,(x, y)=(0,0)
Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis f(x, y) definida de forma diferente para o ponto (0,0) e para quaisquer outros pontos. Precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y no ponto (0,0). Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que envolve calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0), ou seja, partial fpartial x(0,0) .
A definição de derivada parcial em relação a x no ponto (0,0) é:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h

Passo 3

Vamos calcular f(h, 0) :
f(h, 0) = h cdot 0^2h^2 + 0^2 = 0
Sabemos também que f(0,0) = 0 .
Substituindo na definição da derivada:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 0 - 0h = limh to 0 0 = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y no ponto (0,0), ou seja, partial fpartial y(0,0) .
A definição de derivada parcial em relação a y no ponto (0,0) é:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k

Passo 5

Vamos calcular f(0, k) :
f(0, k) = 0 cdot k^20^2 + k^2 = 0
Sabemos também que f(0,0) = 0 .
Substituindo na definição da derivada:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = limk to 0 0 = 0

Resposta

partial fpartial x(0,0) = 0 e partial fpartial y(0,0) = 0

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