Determine, para o tempo t dado, a velocidade vetorial, aceleração vetorial e velocidade escalar da partícula com função posição expressa nos itens seguintes. Esboce a trajetória da partícula.
u(t)=cosh (t) i+senh(t) j, t=1

Passo 1

O enunciado nos dá a função posição
u(t)=cosh(t),i+sinh(t),j
e pede, em t=1, a velocidade vetorial v(t), a aceleração vetorial a(t), a velocidade escalar |v(t)| e um esboço da trajetória. Para isso precisamos usar derivação de funções hiperbólicas e norma de vetor, além de reconhecer a curva descrita pelo parâmetro.

Passo 2

Calculamos a velocidade vetorial derivando componente a componente:
v(t)=u'(t)=ddtl(cosh(t)r),i+ddtl(sinh(t)r),j =sinh(t),i+cosh(t),j

Passo 3

Obtemos a aceleração vetorial derivando v(t):
a(t)=v'(t)=ddtl(sinh(t)r),i+ddtl(cosh(t)r),j =cosh(t),i+sinh(t),j

Passo 4

Em t=1,
v(1)=sinh(1),i+cosh(1),j,
a(1)=cosh(1),i+sinh(1),j
A velocidade escalar é a norma de v(1):
|v(1)|=raizl(sinh(1)r)^2+l(cosh(1)r)^2 =raizcosh(2)

Passo 5

Para esboçar a trajetória, note que as componentes satisfazem
x=cosh(t), y=sinh(t)Longrightarrow x^2-y^2=1,
ou seja, é o ramo da hipérbole x^2-y^2=1 para tinR.

Resposta

v(1)=sinh(1),i+cosh(1),j
a(1)=cosh(1),i+sinh(1),j
|v(1)|=raizcosh(2)
Trajetória: ramo da hipérbole x^2-y^2=1.

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