Encontre o limite.
lim x 0 e^x-1x^3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto0e^x-1x^3. É conteúdo de limites de funções envolvendo exponenciais e, para resolver, podemos usar a Regra de L’Hôpital ou a série de Taylor de e^x.

Passo 2

Verificamos que ao substituir diretamente x=0 temos forma indeterminada 0/0, pois e^0-1=0 e 0^3=0. Isso nos autoriza a usar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital uma vez, derivamos numerador e denominador:

Passo 4

ddx(e^x-1)=e^x, ddx(x^3)=3x^2

Passo 5

O limite passa a ser

Passo 6

limxto0e^x3x^2

Passo 7

Ao avaliar este novo limite, o numerador tende a e^0=1 e o denominador tende a 3cdot0^2=0. Como o denominador se aproxima de zero por valores positivos ( x^2 é sempre ≥0), a fração cresce sem limite.

Passo 8

Logo, o limite original diverge para +∞.

Resposta

+infty

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