Determine, se existirem, os valores de

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= 3 - x, & se x < 1, 4, & se x = 1, x^2 + 1, & se x > 1
O conteúdo aqui é continuidade de funções em partes (piecewise). Para estudar descontinuidades, devemos verificar a continuidade em cada parte do domínio e, especialmente, no ponto de transição x=1.

Passo 2

Para x<1 a função é f(x)=3-x, que é linear, logo contínua em todo (-infty,1). Para x>1 a função é f(x)=x^2+1, que é polinomial, logo contínua em todo (1,infty). Portanto não há descontinuidade em pontos que não sejam x=1.

Passo 3

Calculemos o limite pela esquerda em x=1:
limxto1^-f(x) =limxto1^-(3-x) =3-1 =2
Calculemos o limite pela direita em x=1:
limxto1^+f(x) =limxto1^+(x^2+1) =1^2+1 =2

Passo 4

Como os dois limites laterais coincidem, o limite limxto1f(x) existe e vale 2. No entanto, f(1)=4, que é diferente de 2. Logo há descontinuidade em x=1.

Resposta

A função f é descontínua apenas em x=1.

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