Considere a função f(x, y)=sin (x y). Calcule a derivada direcional de f no ponto ( pi / 2,1 ) na direção do vetor u=(-1 / raiz 2,1 / raiz 2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=sin(xy) no ponto l(tfracpi2,1r) na direção do vetor
u = l(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)
O conteúdo necessário é calcular o gradiente de f e depois fazer o produto escalar deste gradiente com o vetor unitário u.

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=sin(xy), aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial x(x,y) = ycos(xy), partial fpartial y(x,y) = xcos(xy)
Portanto o gradiente é
nabla f(x,y) = l(ycos(xy),,xcos(xy)r)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em l(tfracpi2,1r). Note que
x,y = pi2cdot1 = pi2, cos!l(tfracpi2r)=0
Logo
nabla f!l(tfracpi2,1r) = l(1cdot0,;tfracpi2cdot0r) = (0,0)

Passo 4

Verificamos que u é unitário, pois
|u| = raizl(-tfrac1raiz2r)^2 + l(tfrac1raiz2r)^2 = raiztfrac12 + tfrac12 =1
A derivada direcional é então
Dufl(tfracpi2,1r) = nabla fl(tfracpi2,1r)cdot u = (0,0)cdot l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =0

Resposta

0

Exercícios relacionados