Dada a função f(x, y, z)=x y z, encontre a derivada direcional de f no ponto ( 1,2,3 ) na direção do vetor u=(1 / raiz 3,1 / raiz 3,1 / raiz 3).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=xyz no ponto (1,2,3) ao longo do vetor unitário
u=l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r).
Conteúdo: derivada direcional via gradiente. Precisamos calcular nabla f e, em seguida, fazer o produto escalar com u.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f usando derivadas parciais:
nabla f(x,y,z) =l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr) =(yz,;xz,;xy)

Passo 3

Avaliamo-lo em (1,2,3):
nabla f(1,2,3) = (2 cdot 3,; 1 cdot 3,; 1 cdot 2) = (6,,3,,2)

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar de nabla f(1,2,3) com u:
Duf(1,2,3) =(6,3,2)cdotl(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r) =6+3+2raiz3 =11raiz3

Resposta

11raiz3

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