Considere a função f(x, y, z)=x^2+y^2-z^2. Determine a derivada direcional de f no ponto (2,1,-1) na direção do vetor u=(2 / 3,1 / 3,2 / 3).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2 e pede a derivada direcional em (2,1,-1) na direção do vetor u=(2/3,1/3,2/3). Vamos usar o gradiente e a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, calculo o gradiente de f: nabla f(x,y,z)=(2x,2y,-2z). Avaliando em (2,1,-1) nabla f(2,1,-1)=(4,2,2).

Passo 3

Verifico que u já é unitário. De fato, |u|=raiz(2/3)^2+(1/3)^2+(2/3)^2=1, então posso usar u diretamente na fórmula.

Passo 4

A derivada direcional vem de Duf(2,1,-1)=nabla f(2,1,-1)cdot u. Fazendo o produto escalar:
4cdottfrac23+2cdottfrac13+2cdottfrac23=tfrac143

Resposta

tfrac143

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