Seja f(x, y)=e^wed>=(x^wed>= 2-y^wed>= 2). Determine a derivada direcional de f no ponto (0,1) na direção do vetor u=(raiz 2 / 2, raiz 2 / 2).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=expl(x^2 - y^2r)
e pede a derivada direcional de f no ponto (0,1) na direção do vetor unitário
u=l(tfracraiz22,,tfracraiz22r)
Para isso, vamos usar que
Duf(p)=nabla f(p)cdotu,
onde nabla f é o gradiente de f.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) =expl(x^2 - y^2r)cdot 2x,
partial fpartial y(x,y) =expl(x^2 - y^2r)cdot(-2y)
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nabla f(x,y) =l(2x,e^x^2-y^2,,-2y,e^x^2-y^2r)
Em seguida, confirmamos que
|u| =raizl(tfracraiz22r)^2+l(tfracraiz22r)^2 =1,
ou seja, u já é unitário.

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (0,1):
nabla f(0,1) =l(2cdot0,e^0-1,,-2cdot1,e^0-1r) =(0,,-2e^-1) =l(0,,-tfrac2er)

Passo 4

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar
Duf(0,1) =nabla f(0,1)cdotu =l(0,,-tfrac2er)cdotl(tfracraiz22,,tfracraiz22r) =-tfrac2ecdottfracraiz22 =-tfracraiz2e

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (0,1) na direção de u é
-raiz2e

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