Considere a função f(x)=xx^2-4.
Calcule a derivada segunda de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = xx^2-4
e pede a derivada segunda f''(x). Vamos usar a regra do quociente para obter f'(x) e depois aplicar regras de derivação (produto e cadeia) para achar f''(x).

Passo 2

Aplicando a regra do quociente em
f(x)=xx^2-4,
temos
f'(x) = 1cdot(x^2-4) - xcdot(2x)(x^2-4)^2 = x^2-4 -2x^2(x^2-4)^2 = -l(x^2+4r)(x^2-4)^2

Passo 3

Escrevemos
f'(x) = -l(x^2+4r),(x^2-4)^-2,
para facilitar a derivação de f''(x).

Passo 4

Derivando f'(x) por produto e cadeia:
f''(x) = ddxl[-(x^2+4)r],(x^2-4)^-2 ;+; -(x^2+4),ddxl[(x^2-4)^-2r]
Como ddx[-(x^2+4)]=-2x e
ddxl[(x^2-4)^-2r] = -2,(x^2-4)^-3cdot 2x = -4x,(x^2-4)^-3,
segue
f''(x) = -2x,(x^2-4)^-2 ;+;4x,(x^2+4),(x^2-4)^-3

Passo 5

Fatorando 2x,(x^2-4)^-3 na expressão acima:
f''(x) =2x,(x^2-4)^-3l[-(x^2-4)+2(x^2+4)r] =2x,(x^2-4)^-3l(x^2+12r)
Portanto,
f''(x) =2x,(x^2+12)(x^2-4)^3

Resposta

f''(x)=2x,(x^2+12)(x^2-4)^3

Exercícios relacionados