Considere a função f(x)=xx^2-4.
Encontre, caso existam, os pontos críticas de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=xx^2-4
e pede para encontrar os pontos críticos, isto é, os valores de x no domínio de f em que f'(x)=0 ou em que f' não exista. Vamos usar a regra do quociente para achar f'(x) e depois verificar zeros e descontinuidades.

Passo 2

Primeiro achamos o domínio de f. Como o denominador não pode ser zero,
x^2-4neq0
logo
xneqpm2
O domínio é (-infty,-2)cup(-2,2)cup(2,infty).

Passo 3

Aplicando a regra do quociente em
f(x)=u(x)v(x) com u(x)=x e v(x)=x^2-4, temos
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =1cdot(x^2-4)-xcdot2x(x^2-4)^2 =x^2-4-2x^2(x^2-4)^2 =-x^2-4(x^2-4)^2 =-x^2+4(x^2-4)^2

Passo 4

Agora procuramos valores de x no domínio tais que f'(x)=0 ou f' não exista.
  1. f'(x)=0 implica
-,(x^2+4)=0 Longrightarrow x^2+4=0,
que não tem solução real.
2. f'(x) não existe quando o denominador (x^2-4)^2=0, isto é, em x=pm2, mas esses pontos já estão fora do domínio de f.

Resposta

Não existem pontos críticos da função f(x)=dfracxx^2-4.

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