Considere a função z=sin (3 x+x y). Calcule as derivadas de 2^0 ordem partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2 e partial^2 fpartial x partial y.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que trabalhar com a função z = sin(3x + xy) . O que o exercício quer é que calculemos as derivadas parciais de segunda ordem dessa função, ou seja, partial^2 zpartial x^2 , partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial x partial y . Vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, como z = sin(3x + xy) , a derivada parcial em relação a x considera y como uma constante, e vice-versa. Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de z em relação a x .

Passo 3

Para encontrar partial zpartial x , vamos usar a regra da cadeia. A derivada da função seno é o cosseno, então temos:
partial zpartial x = cos(3x + xy) cdot partialpartial x(3x + xy)
Agora, derivando dentro do parênteses em relação a x :
partialpartial x(3x + xy) = 3 + y
Portanto:
partial zpartial x = cos(3x + xy) cdot (3 + y)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a x , ou seja, partial^2 zpartial x^2 . Novamente, usamos a regra da cadeia:
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x [ cos(3x + xy) cdot (3 + y) ]
Aplicando a regra do produto:
partial^2 zpartial x^2 = -sin(3x + xy) cdot (3 + y) cdot partialpartial x(3x + xy) + cos(3x + xy) cdot 0
Note que partialpartial x(3 + y) = 0 porque y é constante em relação a x . Portanto:
partial^2 zpartial x^2 = -sin(3x + xy) cdot (3 + y)^2

Passo 5

Vamos agora calcular a derivada parcial de z em relação a y , que é partial zpartial y :
partial zpartial y = cos(3x + xy) cdot partialpartial y(3x + xy) = cos(3x + xy) cdot x

Passo 6

Para encontrar partial^2 zpartial y^2 , derivamos novamente:
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y [ cos(3x + xy) cdot x ]
Usando a regra da cadeia:
partial^2 zpartial y^2 = -sin(3x + xy) cdot x^2

Passo 7

Por fim, vamos calcular a derivada mista partial^2 zpartial x partial y . Primeiro, derivamos partial zpartial x em relação a y :
partial^2 zpartial x partial y = partialpartial y [ cos(3x + xy) cdot (3 + y) ]
Aplicando a regra do produto:
partial^2 zpartial x partial y = -sin(3x + xy) cdot x cdot (3 + y) + cos(3x + xy) cdot 1
Simplificando:
partial^2 zpartial x partial y = -x (3 + y) sin(3x + xy) + cos(3x + xy)

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função z = sin(3x + xy) são:
partial^2 zpartial x^2 = - (3 + y)^2 sin(3x + xy)
partial^2 zpartial y^2 = - x^2 sin(3x + xy)
partial^2 zpartial x partial y = -x (3 + y) sin(3x + xy) + cos(3x + xy)

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