Considere a função
. Calcule as derivadas de
ordem
e
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que trabalhar com a função
. O que o exercício quer é que calculemos as derivadas parciais de segunda ordem dessa função, ou seja,
,
e
. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
considera
como uma constante, e vice-versa. Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos usar a regra da cadeia. A derivada da função seno é o cosseno, então temos:
Agora, derivando dentro do parênteses em relação a
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Aplicando a regra do produto:
Note que
porque
é constante em relação a
. Portanto:
Passo 5
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
:
Passo 6
Para encontrar
, derivamos novamente:
Usando a regra da cadeia:
Passo 7
Por fim, vamos calcular a derivada mista
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: