Determine a equação do plano que é tangente ao gráfico de
e paralelo ao plano dado,
.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por z = f(x,y) = 2x² + 3y² que seja paralelo ao plano 4x – 3y – z = 10. O conteúdo é derivadas parciais e plano tangente de superfícies, e vamos precisar usar a fórmula do plano tangente e o fato de que planos paralelos têm normais proporcionais.
Passo 2
Para uma superfície z = f(x,y), o plano tangente em (x₀,y₀,z₀) é dado por
Aqui a normal do plano tangente é n = (fₓ(x₀,y₀), f_y(x₀,y₀), -1).
Passo 3
O plano dado 4x – 3y – z = 10 tem normal n₁ = (4, -3, -1). Para que o plano tangente seja paralelo, sua normal deve satisfazer
para algum λ. Comparando a terceira componente, temos -1 = -λ ⇒ λ = 1. Então fₓ(x₀,y₀) = 4 e f_y(x₀,y₀) = -3.
Passo 4
Como f(x,y) = 2x² + 3y², calculamos as derivadas:
Portanto, para fₓ = 4 → 4x₀ = 4 → x₀ = 1; e para f_y = -3 → 6y₀ = -3 → y₀ = -\tfrac12.
Passo 5
Encontramos z₀ = f(1,-\tfrac12) = 2·1² + 3·(−\tfrac12)² = 2 + 3·\tfrac14 = 2 + \tfrac34 = \tfrac{11}{4}. Agora montamos o plano tangente em (1, -\tfrac12, 11/4):
que, ao simplificar, vira
Resposta
4x - 3y - z = \frac{11}{4}