Determine a equação do plano que é tangente ao gráfico de f(x, y) e paralelo ao plano dado,
f(x, y)=2 x^2+3 y^2, 4 x-3 y-z=10.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por z = f(x,y) = 2x² + 3y² que seja paralelo ao plano 4x – 3y – z = 10. O conteúdo é derivadas parciais e plano tangente de superfícies, e vamos precisar usar a fórmula do plano tangente e o fato de que planos paralelos têm normais proporcionais.

Passo 2

Para uma superfície z = f(x,y), o plano tangente em (x₀,y₀,z₀) é dado por
partial fpartial x(x₀,y₀),(x - x₀) + partial fpartial y(x₀,y₀),(y - y₀) - (z - z₀) = 0
Aqui a normal do plano tangente é n = (fₓ(x₀,y₀), f_y(x₀,y₀), -1).

Passo 3

O plano dado 4x – 3y – z = 10 tem normal n₁ = (4, -3, -1). Para que o plano tangente seja paralelo, sua normal deve satisfazer
(fₓ(x₀,y₀),;fy(x₀,y₀),;-1) = λ,(4,,-3,,-1)
para algum λ. Comparando a terceira componente, temos -1 = -λ ⇒ λ = 1. Então fₓ(x₀,y₀) = 4 e f_y(x₀,y₀) = -3.

Passo 4

Como f(x,y) = 2x² + 3y², calculamos as derivadas:
fₓ(x,y) = 4x, fy(x,y) = 6y
Portanto, para fₓ = 4 → 4x₀ = 4 → x₀ = 1; e para f_y = -3 → 6y₀ = -3 → y₀ = -\tfrac12.

Passo 5

Encontramos z₀ = f(1,-\tfrac12) = 2·1² + 3·(−\tfrac12)² = 2 + 3·\tfrac14 = 2 + \tfrac34 = \tfrac{11}{4}. Agora montamos o plano tangente em (1, -\tfrac12, 11/4):
4(x - 1) -3l(y + tfrac12r) - (z - tfrac114) = 0,
que, ao simplificar, vira
4x - 3y - z = tfrac114

Resposta

4x - 3y - z = \frac{11}{4}

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