Determine o maior conjunto de pontos em que a função
Passo 1
O enunciado pede o maior conjunto de pontos em que
é diferenciável. O conteúdo aqui envolve duas partes: (i) reconhecer que, fora da origem, f é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo e, portanto, é suave; (ii) verificar se f é diferenciável em (0,0) usando derivadas parciais e o teste de diferenciabilidade (aproximação linear).
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é diferente de zero e tanto o numerador x^3 quanto o denominador são funções polinomiais (logo diferenciáveis). Assim, pela regra do quociente, f é diferenciável em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
Em (0,0), primeiro calculamos as derivadas parciais para obter o candidato ao mapeamento linear aproximante L(h,k)=fx(0,0),h+fy(0,0),k.