Determine o maior conjunto de pontos em que a função

Passo 1

O enunciado pede o maior conjunto de pontos em que
f(x,y) = dfracx^3x^2+y^2, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0)
é diferenciável. O conteúdo aqui envolve duas partes: (i) reconhecer que, fora da origem, f é quociente de funções polinomiais com denominador não nulo e, portanto, é suave; (ii) verificar se f é diferenciável em (0,0) usando derivadas parciais e o teste de diferenciabilidade (aproximação linear).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), o denominador x^2+y^2 é diferente de zero e tanto o numerador x^3 quanto o denominador são funções polinomiais (logo diferenciáveis). Assim, pela regra do quociente, f é diferenciável em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Em (0,0), primeiro calculamos as derivadas parciais para obter o candidato ao mapeamento linear aproximante L(h,k)=fx(0,0),h+fy(0,0),k.
fx(0,0) = limhto0f(h,0)-f(0,0)h = limhto0tfrach^3h^2+0-0h = limhto0h^2 =0 fy(0,0) = limkto0f(0,k)-f(0,0)k = limkto00/(0+k^2)k =0
Logo, L(h,k)=0.

Passo 4

Para ser diferenciável em (0,0), deve valer
lim(h,k)to(0,0) f(h,k)-L(h,k)raizh^2+k^2 =0
Como L(h,k)=0, examinamos
f(h,k)raizh^2+k^2 = tfrach^3h^2+k^2raizh^2+k^2 = h^3(h^2+k^2)^3/2
Escolhendo o caminho k=0 (ou seja, y=0), temos
f(h,0)raizh^2+0 = h^3/(h^2)|h| = h|h|,h = hl(h/|h|r) ;xrightarrow[hto0];1ou;-1,
dependendo do sinal de h. Em qualquer caso, o limite em módulo não é 0. Portanto, a condição de diferenciabilidade em (0,0) falha.

Resposta

A função f é diferenciável em todos os pontos (x,y) tais que (x,y)neq(0,0), mas não é diferenciável em (0,0). O maior conjunto de diferenciabilidade é
(x,y)inR^2mid (x,y)neq(0,0)

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