Use a Regra da Cadeia para achar d zd t.
z=arctan (xy), x=e^t, y=1-e^-t

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos z=arctan!l(tfracxyr) com x=e^t e y=1-e^-t. O conteúdo é regra da cadeia para funções compostas e, dentro dela, a regra do quociente para tfracxy.

Passo 2

Seja u=tfracxy. Então z=arctan(u) e, pela regra da cadeia,
dzdt ;=; dzdu,dudt
Como
ddul[arctan(u)r] ;=; 11+u^2,
temos
dzdu ;=; 11+u^2

Passo 3

Para tfracdudt, usamos a regra do quociente:
dudt = y,dxdt;-;x,dydty^2

Passo 4

Substituindo em dzdt=11+u^2,dudt e lembrando que u^2=x^2y^2, obtemos
dzdt = 11+x^2y^2;cdot;y,x' - x,y'y^2 = y^2x^2+y^2;cdot;y,x' - x,y'y^2 = y,x' - x,y'x^2+y^2

Passo 5

Calculamos as derivadas de x e y:
x=e^timplies x'=dxdt=e^t,
y=1-e^-timplies y'=dydt=e^-t

Passo 6

Substituindo x' e y' em dzdt=y,x' - x,y'x^2+y^2:
dzdt = (1-e^-t),e^t ;-; e^t,e^-te^2t + l(1-e^-tr)^2

Passo 7

No numerador,
(1-e^-t),e^t = e^t - 1,
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(e^t - 1) - 1 = e^t - 2
Portanto
dzdt = e^t - 2e^2t + (1 - e^-t)^2

Resposta

dzdt = e^t - 2e^2t + (1 - e^-t)^2

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