Determine os valores de e que satisfazem a seguinte equação trigonométrica:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação trigonométrica meio complicada e precisamos encontrar os valores de e que fazem essa equação valer para todo . Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra e trigonometria, como a combinação de termos semelhantes e a resolução de sistemas de equações. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos expandir todos os termos da equação para facilitar a visualização. Isso significa distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
Distribuindo os coeficientes:
Passo 3
Agora, vamos juntar os termos semelhantes, ou seja, os que têm e os que têm :
Termos com :
Termos com :
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos simplificar os coeficientes:
Para :
Para :
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Para facilitar, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambas as equações por 4:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema usando o método da eliminação. Multiplicamos a primeira equação por 12 e a segunda por 99 para eliminar [A):
Somando as duas equações:
Então, isolando (B]:
Passo 7
Com o valor de B encontrado, vamos substituir na primeira equação do sistema para encontrar A :
99A + 12(-20663) = 8
99A - 240663 = 8
Multiplicando tudo por 663 para eliminar o denominador: