Determine os valores de A e B que satisfazem a seguinte equação trigonométrica:
(-A4 sin t2-B4 cos t4)-6(A2 cos t2-B2 sin t2) +25(A sin t2+B cos t2)=2 sin t2-cos t2

Passo 1

Então, a gente tem uma equação trigonométrica meio complicada e precisamos encontrar os valores de A e B que fazem essa equação valer para todo t . Vamos precisar usar conhecimentos de álgebra e trigonometria, como a combinação de termos semelhantes e a resolução de sistemas de equações. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos expandir todos os termos da equação para facilitar a visualização. Isso significa distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
(-A4 sin t2 - B4 cos t2) - 6(A2 cos t2 - B2 sin t2) + 25(A sin t2 + B cos t2) = 2 sin t2 - cos t2
Distribuindo os coeficientes:
-A4 sin t2 - B4 cos t2 - 3A cos t2 + 3B sin t2 + 25A sin t2 + 25B cos t2 = 2 sin t2 - cos t2

Passo 3

Agora, vamos juntar os termos semelhantes, ou seja, os que têm sin t2 e os que têm cos t2 :
Termos com sin t2 :
-A4 sin t2 + 3B sin t2 + 25A sin t2 = (-A4 + 25A + 3B) sin t2
Termos com cos t2 :
-B4 cos t2 - 3A cos t2 + 25B cos t2 = (-B4 + 25B - 3A) cos t2
Então, a equação fica:
(-A4 + 25A + 3B) sin t2 + (-B4 + 25B - 3A) cos t2 = 2 sin t2 - cos t2

Passo 4

Vamos simplificar os coeficientes:
Para sin t2 :
-A4 + 25A + 3B = (-14 + 25)A + 3B = 99A4 + 3B
Para cos t2 :
-B4 + 25B - 3A = (-14 + 25)B - 3A = 99B4 - 3A
Então, a equação fica:
99A4 + 3B = 2 e 99B4 - 3A = -1

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
99A4 + 3B = 2 99B4 - 3A = -1
Para facilitar, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambas as equações por 4:
99A + 12B = 8 99B - 12A = -4

Passo 6

Vamos resolver esse sistema usando o método da eliminação. Multiplicamos a primeira equação por 12 e a segunda por 99 para eliminar [A):
Somando as duas equações:
Então, isolando (B]:

Passo 7

Com o valor de B encontrado, vamos substituir na primeira equação do sistema para encontrar A :
99A + 12(-20663) = 8
99A - 240663 = 8
Multiplicando tudo por 663 para eliminar o denominador:
99A times 663 - 240 = 8 times 663
65637A - 240 = 5304
65637A = 5304 + 240
65637A = 5544
A = 554465637 = 56663

Resposta

Os valores que satisfazem a equação são:
A = 56663 e B = -20663

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