Considere a série .
a) Determine uma formula para a sequencia das somas parciais da série e prove por induçao em que a formula que você obteve é valida.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a série infinita . A primeira parte da questão (a) quer que a gente encontre uma fórmula para as somas parciais dessa série, ou seja, para onde . Depois, precisamos provar, usando indução matemática, que essa fórmula está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender de séries, somas parciais, frações parciais e indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão . Observa que o denominador é um polinômio quadrático, que podemos fatorar. Vamos fatorar :
Vamos encontrar e que multiplicados dão 3 e somados dão 4. Testando, vemos que e funcionam:
Então, nossa fração fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar números e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Expandindo:
Comparando os coeficientes dos termos de e os termos constantes:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar A e B.
Da primeira equação:
A + B = 0 implies B = -A
Substituindo B = -A na segunda equação:
3A + (-A) = 1 2A = 1 A = 12
Então, B = -12.
Portanto, a decomposição em frações parciais fica:
Observamos que os termos 14 até 1n+1 se cancelam, restando:
Sn = 12 ( 12 + 13 ) - 12 ( 1n+2 + 1n+3 )
Simplificando:
Sn = 14 + 16 - 12(n+2) - 12(n+3) Sn = 512 - 12(n+2) - 12(n+3)
Então, a fórmula para as somas parciais é:
Sn = 512 - 12(n+2) - 12(n+3)
Passo 8
Agora, vamos provar por indução que essa fórmula está correta. A indução matemática envolve dois passos: a base (mostrar que funciona para n=1) e o passo indutivo (assumir que funciona para n=k e mostrar que funciona para n=k+1).
Base da Indução (n=1):
Calculamos S1 diretamente:
S1 = 11^2 + 4 cdot 1 + 3 = 11 + 4 + 3 = 18
Aplicando a fórmula:
S1 = 512 - 12(1+2) - 12(1+3) = 512 - 16 - 18
Convertendo para um denominador comum (24):
512 = 1024, 16 = 424, 18 = 324
Então:
S1 = 1024 - 424 - 324 = 324 = 18
Está correto para n=1.
Passo Indutivo:
Assumimos que a fórmula vale para n = k, ou seja:
Sk = 512 - 12(k+2) - 12(k+3)
Queremos mostrar que ela também vale para n = k+1: