Considere a série sumn=1^infty 1n^2+4 n+3.
a) Determine uma formula para a sequencia Sn das somas parciais da série e prove por induçao em n que a formula que você obteve é valida.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos a série infinita sumn=1^infty 1n^2+4n+3. A primeira parte da questão (a) quer que a gente encontre uma fórmula para as somas parciais dessa série, ou seja, para Sn onde Sn = sumk=1^n 1k^2+4k+3. Depois, precisamos provar, usando indução matemática, que essa fórmula está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender de séries, somas parciais, frações parciais e indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 1n^2+4n+3. Observa que o denominador é um polinômio quadrático, que podemos fatorar. Vamos fatorar n^2 + 4n + 3:
n^2 + 4n + 3 = (n + a)(n + b)
Vamos encontrar a e b que multiplicados dão 3 e somados dão 4. Testando, vemos que a = 1 e b = 3 funcionam:
n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3)
Então, nossa fração fica:
1n^2+4n+3 = 1(n + 1)(n + 3)

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos encontrar números A e B tais que:
1(n + 1)(n + 3) = An + 1 + Bn + 3
Multiplicando ambos os lados por (n + 1)(n + 3) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(n + 3) + B(n + 1)
Expandindo:
1 = An + 3A + Bn + B = (A + B)n + (3A + B)
Comparando os coeficientes dos termos de n e os termos constantes:
A + B = 0 3A + B = 1

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar A e B.
Da primeira equação:
A + B = 0 implies B = -A
Substituindo B = -A na segunda equação:
3A + (-A) = 1 2A = 1 A = 12
Então, B = -12.
Portanto, a decomposição em frações parciais fica:
1(n + 1)(n + 3) = 1/2n + 1 - 1/2n + 3 = 12(n + 1) - 12(n + 3)

Passo 5

Agora que temos a expressão das frações parciais, vamos escrever a soma parcial Sn:
Sn = sumk=1^n 1k^2 + 4k + 3 = sumk=1^n ( 12(k + 1) - 12(k + 3) )
Podemos separar a soma:
Sn = 12 sumk=1^n 1k + 1 - 12 sumk=1^n 1k + 3

Passo 6

Vamos reindexar as somas para facilitar a simplificação. Para a primeira soma, faça m = k + 1, quando k=1, m=2, e quando k=n, m=n+1:
sumk=1^n 1k + 1 = summ=2^n+1 1m
Para a segunda soma, faça m = k + 3, quando k=1, m=4, e quando k=n, m=n+3:
sumk=1^n 1k + 3 = summ=4^n+3 1m
Então,
Sn = 12 summ=2^n+1 1m - 12 summ=4^n+3 1m

Passo 7

Agora, vamos expressar as somas de forma que possamos cancelar termos. Escrevendo as somas completas:
summ=2^n+1 1m = ( 12 + 13 + dots + 1n+1 )
summ=4^n+3 1m = ( 14 + 15 + dots + 1n+3 )
Subtraindo as duas somas:
Sn = 12 ( 12 + 13 + dots + 1n+1 ) - 12 ( 14 + 15 + dots + 1n+3 )
Observamos que os termos 14 até 1n+1 se cancelam, restando:
Sn = 12 ( 12 + 13 ) - 12 ( 1n+2 + 1n+3 )
Simplificando:
Sn = 14 + 16 - 12(n+2) - 12(n+3) Sn = 512 - 12(n+2) - 12(n+3)
Então, a fórmula para as somas parciais é:
Sn = 512 - 12(n+2) - 12(n+3)

Passo 8

Agora, vamos provar por indução que essa fórmula está correta. A indução matemática envolve dois passos: a base (mostrar que funciona para n=1) e o passo indutivo (assumir que funciona para n=k e mostrar que funciona para n=k+1).
Base da Indução ( n=1):
Calculamos S1 diretamente:
S1 = 11^2 + 4 cdot 1 + 3 = 11 + 4 + 3 = 18
Aplicando a fórmula:
S1 = 512 - 12(1+2) - 12(1+3) = 512 - 16 - 18
Convertendo para um denominador comum (24):
512 = 1024, 16 = 424, 18 = 324
Então:
S1 = 1024 - 424 - 324 = 324 = 18
Está correto para n=1.
Passo Indutivo:
Assumimos que a fórmula vale para n = k, ou seja:
Sk = 512 - 12(k+2) - 12(k+3)
Queremos mostrar que ela também vale para n = k+1:
Sk+1 = Sk + 1(k+1)^2 +4(k+1) +3
Simplificando o termo adicional:
1(k+1)^2 + 4(k+1) +3 = 1k^2 + 2k +1 +4k +4 +3 = 1k^2 +6k +8 = 1(k+2)(k+4)
Fazendo a decomposição em frações parciais:
1(k+2)(k+4) = 12(k+2) - 12(k+4)
Então,
Sk+1 = 512 - 12(k+2) - 12(k+3) + 12(k+2) - 12(k+4) Sk+1 = 512 - 12(k+3) - 12(k+4)
Isso é exatamente a fórmula para n = k+1:
Sk+1 = 512 - 12((k+1)+2) - 12((k+1)+3) Sk+1 = 512 - 12(k+3) - 12(k+4)
Portanto, a indução está comprovada.

Resposta

A fórmula para as somas parciais da série é:
Sn = 512 - 12(n+2) - 12(n+3)

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