QUESTAO 1 (1 PONTO):
A sequìncia an = (n+1)^n+1n^n+1 converge? Justifique!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência an = (n+1)^n+1n^n+1 e precisamos determinar se ela converge ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de exponenciais.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar a análise. Observamos que:
an = (n+1)^n+1n^n+1 = ( n+1n )^n+1

Passo 3

Agora, simplificamos a fração dentro do parêntese:
n+1n = 1 + 1n
Portanto, a sequência fica:
an = (1 + 1n)^n+1

Passo 4

Reconhecemos que a expressão (1 + 1n)^n é conhecida por se aproximar de e quando n tende ao infinito. Então, podemos reescrever a sequência:
an = (1 + 1n)^n cdot (1 + 1n)

Passo 5

Sabemos que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
E:
limn to infty (1 + 1n) = 1

Passo 6

Aplicando o limite ao produto das duas expressões:
limn to infty an = limn to infty (1 + 1n)^n cdot limn to infty (1 + 1n) = e cdot 1 = e

Resposta

A sequência an = (n+1)^n+1n^n+1 converge e o seu limite é e .

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