Considere a função T: R^3 R^3 ; T(x, y, z)=(x-y, x-z, y-z)
Calcule a dimensão de Im(T), isto é, dim Im(T). Neste caso, T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear \r
\r
por \r
\r
e pede a dimensão da imagem de T e se T é sobrejetora. \r
Conteúdo: teoria de transformações lineares, posto de matriz, teorema da dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Para usar o teorema do posto, escrevemos na base canônica como \r
\r
pois \r

Passo 3

Calculamos o posto de A. O determinante de A é \r
det(A) =1cdotdet!0 & -11 & -1 -(-1)cdotdet!1 & -10 & -1 +0cdotcdots =1cdot(0cdot(-1)-(-1)cdot1)+1cdot(1cdot(-1)-(-1)cdot0) =1-1=0, \r
logo rank(A)<=2. Como as duas primeiras linhas de A não são múltiplas uma da outra, concluímos rank(A)=2. Pelo teorema da dimensão da imagem,\r
diml(Im(T)r)=rank(A)=2

Passo 4

Uma aplicação linear de R^3 em R^3 é sobrejetora se e somente se o posto for 3. Aqui rank(A)=2<3, portanto T não é sobrejetora.

Resposta

A dimensão de Im(T) é 2. \r
T não é sobrejetora.

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