Sabe-se que
é uma transformação linear. Calcule:
O núcleo
e sua dimensão
. Neste caso,
é injetora? Justifique.
O núcleo
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
O que precisamos é encontrar o núcleo
, sua dimensão e verificar se
é injetora.
Passo 2
Para achar o núcleo, procuramos todas as matrizes tais que
Isto gera o sistema homogêneo em
:
Passo 3
Da terceira equação
, vem
Substituindo em
e em
obtemos
E da segunda equação
segue
Passo 4
Concluímos que a única solução é
. Logo
e portanto
Passo 5
Como o núcleo de
é apenas o vetor zero, pela propriedade fundamental das transformações lineares,
é injetora.
Resposta
Sim,