Sabe-se que T: M2 times 2(R) R^4 ; T([lla & b c & d])=(a+b, b+d, 2 a, a+c) é uma transformação linear. Calcule:
O núcleo Nuc(T) e sua dimensão dim Nuc(T). Neste caso, T é injetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
O que precisamos é encontrar o núcleo , sua dimensão e verificar se é injetora.

Passo 2

Para achar o núcleo, procuramos todas as matrizes tais que
Isto gera o sistema homogêneo em :

Passo 3

Da terceira equação 2a=0, vem
a = 0
Substituindo em a + b = 0 e em a + c = 0 obtemos
b=0, c=0
E da segunda equação b+d=0 segue
d=0

Passo 4

Concluímos que a única solução é a=b=c=d=0. Logo
Nuc(T) =l[0&00&0]r
e portanto
dimNuc(T)=0

Passo 5

Como o núcleo de T é apenas o vetor zero, pela propriedade fundamental das transformações lineares, T é injetora.

Resposta

Nuc(T)=[0&00&0],
dimNuc(T)=0.
Sim, T é injetora, pois seu núcleo é trivial.

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