Considere a função T: R^3 R^3 ; T(x, y, z)=(x-y, x-z, y-z)
Calcule o núcleo N u c(T) e sua dimensão dim Nuc(T). Neste caso, T é injetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon R^3toR^3 dada por
T(x,y,z) = (,x - y,;x - z,;y - z,)
Precisamos encontrar o núcleo Nuc(T), sua dimensão e dizer se T é injetora.

Passo 2

Para achar Nuc(T) resolvemos
T(x,y,z) = (0,0,0),
ou seja, o sistema
x - y = 0, x - z = 0, y - z = 0

Passo 3

Das primeiras duas equações vem x=y e x=z, o que já implica y=z. A terceira equação é redundante. Assim todo vetor no núcleo é da forma
(x,y,z) = (t,t,t), tinR
Logo
Nuc(T)=(t,t,t)mid tinR

Passo 4

O vetor (1,1,1) gera o núcleo, então
dimNuc(T)=1

Passo 5

Uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo for (0,0,0). Aqui Nuc(T) contém todos os (t,t,t), não só o zero, logo
T não é injetora.

Resposta

Nuc(T)=(t,t,t)mid tinR, dimNuc(T)=1.
T não é injetora.

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