Considere a função
Calcule o núcleo e sua dimensão . Neste caso, é injetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear dada por
Precisamos encontrar o núcleo , sua dimensão e dizer se é injetora.
Passo 2
Para achar resolvemos
ou seja, o sistema
Passo 3
Das primeiras duas equações vem x=y e x=z, o que já implica y=z. A terceira equação é redundante. Assim todo vetor no núcleo é da forma
(x,y,z) = (t,t,t), tinR
Logo
Nuc(T)=(t,t,t)mid tinR
Passo 4
O vetor (1,1,1) gera o núcleo, então
dimNuc(T)=1
Passo 5
Uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo for (0,0,0). Aqui Nuc(T) contém todos os (t,t,t), não só o zero, logo T não é injetora.
Resposta
Nuc(T)=(t,t,t)mid tinR, dimNuc(T)=1. T não é injetora.