Sabe-se que T: M2 times 2(R) R^4 ; T([lla & b c & d])=(a+b, b+d, 2 a, a+c) é uma transformação linear. Calcule:
A dimensão de Im(T), isto é, dim Im(T). Neste caso, T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon M2times2(R)toR^4, Tl(a & b c & dr) = (,a+b,;b+d,;2a,;a+c,)
Queremos calcular dimIm(T) e decidir se T é sobrejetora.

Passo 2

Para encontrar Im(T) escolhemos a base canônica de M2times2(R):
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1
Calculamos T em cada um:
T(E11) = (1,0,2,1), T(E12) = (1,1,0,0), T(E21) = (0,0,0,1), T(E22) = (0,1,0,0)

Passo 3

Denotemos
v1=(1,0,2,1),;v2=(1,1,0,0),;v3=(0,0,0,1),;v4=(0,1,0,0)
Mostramos que v1,v2,v3,v4 gera todo R^4:
  1. v2 - v4 = (1,0,0,0) e1=(1,0,0,0).
  2. v4=(0,1,0,0)=e2.
  3. v3=(0,0,0,1)=e4.
  4. v1 - e1 - v3 = (0,0,2,0), dividindo por 2 obtém-se e3=(0,0,1,0).
    Logo e1,e2,e3,e4 está no span de vi, então Im(T)=R^4.

Passo 4

Como Im(T)=R^4, tem-se dimIm(T)=4. O espaço alvo R^4 também tem dimensão 4, então T atinge todo o codomínio e é sobrejetora.

Resposta

dimIm(T)=4.
Sim, T é sobrejetora, pois seu posto é igual a dimR^4=4.

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