Quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para identificar quais das quatro matrizes estão na forma escalonada reduzida. A gente vai precisar saber o que é essa forma escalonada reduzida e quais são as condições para uma matriz estar nela. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a forma escalonada reduzida. Uma matriz está nessa forma se cumprir três condições principais:
- Pivôs iguais a 1: Em cada linha que tem números diferentes de zero, o primeiro número não nulo (chamado de pivô) é 1.
- Cada pivô está à direita do pivô acima dele: Os pivôs descem para a direita conforme a gente desce as linhas.
- Zerando acima e abaixo dos pivôs: Em cada coluna que tem um pivô, todos os outros números dessa coluna são zero.
Vamos verificar cada matriz seguindo essas regras.
Passo 3
Matriz A:
- Pivôs: 1 na primeira linha, 1 na terceira posição da segunda linha, e 1 na quarta posição da terceira linha.
- Posição dos pivôs: Cada pivô está à direita do anterior.
- Zerando acima: Olha que na coluna dos pivôs, só tem 1 e zeros acima.
Tudo certo! A matriz A está na forma escalonada reduzida.
Passo 4
Matriz B:
- Pivôs: 1 na segunda coluna da primeira linha, 1 na terceira coluna da segunda linha, e -1 na quarta coluna da terceira linha.
- Pivô ≠ 1: Na terceira linha, o pivô é -1, não 1.
- Zerando acima: Mesmo que os pivôs principais estejam corretos, o pivô -1 não atende à condição de ser 1.
Portanto, a matriz B não está na forma escalonada reduzida.
Passo 5
Matriz C:
- Pivôs: 1 na primeira coluna, 1 na terceira coluna da segunda linha, e 1 na quarta coluna da terceira linha.
- Posição dos pivôs: Correto, cada pivô está à direita do anterior.
- Zerando acima: As colunas dos pivôs têm apenas 1 e zeros acima e abaixo.
A matriz C também está na forma escalonada reduzida.
Passo 6
Matriz D:
- Pivôs: 1 na terceira coluna da segunda linha e 1 na quarta coluna da terceira linha.
- Pivô acima véio’z: Na coluna do segundo pivô (quarta coluna), acima tem um 2, que não é zero.
- Condição violada: Todos os elementos acima e abaixo dos pivôs devem ser zeros.
Assim, a matriz D não está na forma escalonada reduzida.
Resposta
As matrizes A e C estão na forma escalonada reduzida.