Considere a funçảo
f(x, y)=ccc e^1x^2+y^2-1 & se & x^2+y^2<1 0 & se & x^2+y^2 >= 1
Calcule
lim (x, y) (raiz2 / 2, raiz2 / 2) f(x, y)x^2+y^2-1
A função f é contínua em (raiz2 / 2, raiz2 / 2)?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função f(x, y) definida de duas formas diferentes, dependendo da condição x^2 + y^2 < 1 ou x^2 + y^2 >= 1 . Nosso objetivo é calcular o limite de f(x, y)x^2+y^2-1 quando (x, y) se aproxima de (raiz22, raiz22) e verificar se a função f é contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender para onde (x, y) está se aproximando. O ponto (raiz22, raiz22) está no círculo de raio 1, já que:
( raiz22 )^2 + ( raiz22 )^2 = 24 + 24 = 1
Então, nesse ponto, a condição x^2 + y^2 = 1 é satisfeita, o que significa que f(x, y) = 0 nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite:
lim(x, y) to (raiz22, raiz22) f(x, y)x^2 + y^2 - 1
Como f(x, y) é definida de duas maneiras, precisamos verificar o comportamento quando x^2 + y^2 se aproxima de 1, tanto de dentro quanto de fora do círculo.

Passo 4

Para x^2 + y^2 < 1 , temos:
f(x, y) = e^1x^2 + y^2 - 1
Note que quando x^2 + y^2 se aproxima de 1 por valores menores que 1, x^2 + y^2 - 1 se aproxima de 0 por valores negativos. Assim, o expoente 1x^2 + y^2 - 1 vai para menos infinito, fazendo e^-infty = 0 .

Passo 5

Para x^2 + y^2 >= 1 , temos:
f(x, y) = 0
Então, independentemente de como (x, y) se aproxima de (raiz22, raiz22) de fora do círculo, f(x, y) = 0 .

Passo 6

Agora, juntando as duas situações:
  • Se x^2 + y^2 < 1 , então f(x, y) se aproxima de 0.
  • Se x^2 + y^2 >= 1 , então f(x, y) = 0 .
Portanto, em ambos os casos, f(x, y) tende a 0 quando (x, y) se aproxima de (raiz22, raiz22).

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (raiz22, raiz22) f(x, y)x^2 + y^2 - 1 = 00
Essa forma é indeterminada, então precisamos analisar mais a fundo. Vamos considerar a aproximação de f(x, y) para x^2 + y^2 próximo de 1.

Passo 8

Para x^2 + y^2 < 1 , podemos escrever:
f(x, y) = e^1x^2 + y^2 - 1 = e^-11 - x^2 - y^2
Quando x^2 + y^2 se aproxima de 1, 1 - x^2 - y^2 se aproxima de 0, então o expoente tende a -infty, fazendo com que f(x, y) tenda a 0 mais rapidamente que x^2 + y^2 - 1 .

Passo 9

Portanto, o limite:
lim(x, y) to (raiz22, raiz22) f(x, y)x^2 + y^2 - 1 = 0

Resposta

O limite é igual a 0 e a função f é contínua em (raiz22, raiz22).

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