Nos problemas abaixo, obtenha a solução geral para a equação.
\frac{d r}{d \theta}+r \tan \theta=\operatorname{sec} \theta
\frac{d r}{d \theta}+r \tan \theta=\operatorname{sec} \theta
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
Este tipo de equação tem a forma
onde
e
. Para resolver, vamos usar o fator integrante.
Passo 2
Calculamos o fator integrante
como
Como
, tem-se
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
mu(theta)=sectheta , obtendo
O lado esquerdo é exatamente a derivada de
r(theta),sectheta , pois
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
theta , vem
onde
C é constante de integração.
Passo 5
Isolando
r(theta) , obtemos
Resposta
A solução geral é
onde
C é constante arbitrária.