Nos problemas abaixo, obtenha a solução geral para a equação.
\frac{d r}{d \theta}+r \tan \theta=\operatorname{sec} \theta

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
drdtheta + r tan theta = sec theta
Este tipo de equação tem a forma
drdtheta + P(theta),r = Q(theta),
onde P(theta)=tantheta e Q(theta)=sectheta. Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(theta) como
mu(theta) = expl(integral P(theta),dthetar) = expl(integral tan theta,dthetar)
Como integral tan theta,dtheta = -lnl|costhetar|, tem-se
mu(theta) = expl(-lnlvertcosthetarvertr) = 1costheta = sectheta

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(theta)=sectheta, obtendo
sectheta,drdtheta + r,secthetatantheta = sec^2theta
O lado esquerdo é exatamente a derivada de r(theta),sectheta, pois
ddthetal(r,secthetar) = sectheta,drdtheta + r,ddtheta(sectheta) = sectheta,drdtheta + r,secthetatantheta

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a theta, vem
integral ddthetal(r,secthetar),dtheta = integral sec^2theta,dtheta Longrightarrow r(theta),sectheta = tantheta + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando r(theta), obtemos
r(theta) = costheta,(tantheta + C) = sintheta + Ccostheta

Resposta

A solução geral é
r(theta) = sintheta + Ccostheta,
onde C é constante arbitrária.

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