Uma função
f: U subset R^n longrightarrow R,
é dita radial se existir uma função
g: R+ longrightarrow R
tal que
f(X)=g(r), forall X=(x1, ldots, xn) in R^n, onde r=|X|E
Se uma função f possuir derivadas parciais de segunda ordem, define-se o laplaciano de f, e denota-se por triang<= f, pela quantidade dada por
De<a f=partial^2 fpartial x1 ^2+ldots+partial^2 fpartial xn ^2
que também se escreve
De<a f=fx1 x1+ldots+fxn xn ou triang<= f=f11+ldots+fn n
Se g for de classe C^2, expressar o laplaciano de uma função radial em termos de g^prime e g^prime prime nos seguintes casos:
No R^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função radial f que depende apenas da distância r do ponto X até a origem no espaço R^2 . O que queremos é expressar o laplaciano dessa função f (que é uma medida de como a função se curva no espaço) em termos das derivadas de g , a função que depende de r . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais e entender o que é o laplaciano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma função radial em R^2 tem a forma f(X) = g(r) , onde r = raizx1^2 + x2^2 . Aqui, x1 e x2 são as coordenadas do ponto X .

Passo 3

O laplaciano de f em duas dimensões é dado por:
De<a f = partial^2 fpartial x1^2 + partial^2 fpartial x2^2
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f em relação a x1 :
partial fpartial x1 = dgdr cdot partial rpartial x1 = g'(r) cdot x1r
O mesmo vale para x2 :
partial fpartial x2 = g'(r) cdot x2r

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a x1 :
partial^2 fpartial x1^2 = ddx1(g'(r) cdot x1r)
Aplicando a regra do produto:
partial^2 fpartial x1^2 = g''(r) cdot (x1r)^2 + g'(r) cdot (r - x1^2rr^2) = g''(r) cdot x1^2r^2 + g'(r) cdot r^2 - x1^2r^3
Da mesma forma, para x2 :
partial^2 fpartial x2^2 = g''(r) cdot x2^2r^2 + g'(r) cdot r^2 - x2^2r^3

Passo 6

Somando as duas segundas derivadas para obter o laplaciano:
De<a f = partial^2 fpartial x1^2 + partial^2 fpartial x2^2 = g''(r) cdot (x1^2 + x2^2r^2) + g'(r) cdot (2r^2 - x1^2 - x2^2r^3)
Como x1^2 + x2^2 = r^2 , simplificamos:
De<a f = g''(r) cdot 1 + g'(r) cdot 2r^2 - r^2r^3 = g''(r) + g'(r)r

Resposta

O laplaciano de uma função radial f em R^2 é dado por:
De<a f = g''(r) + g'(r)r

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