Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
Se uma função
possuir derivadas parciais de segunda ordem, define-se o laplaciano de
, e denota-se por
, pela quantidade dada por
que também se escreve
Se
for de classe
, expressar o laplaciano de uma função radial em termos de
e
nos seguintes casos:
No
é dita radial se existir uma função
tal que
Se uma função
que também se escreve
Se
No
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função radial
que depende apenas da distância
do ponto
até a origem no espaço
. O que queremos é expressar o laplaciano dessa função
(que é uma medida de como a função se curva no espaço) em termos das derivadas de
, a função que depende de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais e entender o que é o laplaciano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma função radial em
tem a forma
, onde
. Aqui,
e
são as coordenadas do ponto
.
Passo 3
O laplaciano de
em duas dimensões é dado por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
:
O mesmo vale para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Da mesma forma, para
:
Passo 6
Somando as duas segundas derivadas para obter o laplaciano:
Como
, simplificamos:
Resposta
O laplaciano de uma função radial
em
é dado por: