Uma função
f: U subset R^n longrightarrow R,
é dita radial se existir uma função
g: R+ longrightarrow R
tal que
f(X)=g(r), forall X=(x1, ldots, xn) in R^n, onde r=|X|E
Resolver a equação difrencial das funções harmônicas,
triang<= f=0,
para as funções radiais em cada caso seguinte:
No R^3.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial das funções harmônicas, que é triang<= f = 0, para funções radiais no espaço tridimensional R^3. Uma função radial depende apenas da distância r do ponto X à origem, ou seja, f(X) = g(r), onde r = |X|E. Para isso, vamos precisar usar a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas e resolver a equação resultante para g(r).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o laplaciano de uma função radial f(X) = g(r) em R^3. Em coordenadas esféricas, o laplaciano de f é dado por:
triang<= f = 1r^2 ddr (r^2 dgdr)
Isso porque, para funções que dependem apenas de r, os termos angulares do laplaciano desaparecem.

Passo 3

Agora, substituímos o laplaciano na equação harmônica triang<= f = 0:
1r^2 ddr (r^2 dgdr) = 0
Multiplicando ambos os lados por r^2 para simplificar:
ddr (r^2 dgdr) = 0

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a r:
r^2 dgdr = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, isolamos dgdr:
dgdr = Cr^2
E então, integramos novamente em relação a r:
g(r) = -Cr + D
Onde D é outra constante de integração.

Passo 6

Portanto, a solução geral para a função harmônica radial em R^3 é:
f(X) = g(r) = Ar + B
Onde A e B são constantes que podem ser determinadas por condições de contorno específicas.

Resposta

A solução geral das funções harmônicas radiais em R^3 é
f(X) = Ar + B,
onde A e B são constantes e r = |X|E.

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