Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
Resolver a equação difrencial das funções harmônicas,
para as funções radiais em cada caso seguinte:
No
.
é dita radial se existir uma função
tal que
Resolver a equação difrencial das funções harmônicas,
para as funções radiais em cada caso seguinte:
No
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial das funções harmônicas, que é
, para funções radiais no espaço tridimensional
. Uma função radial depende apenas da distância
do ponto
à origem, ou seja,
, onde
. Para isso, vamos precisar usar a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas e resolver a equação resultante para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o laplaciano de uma função radial
em
. Em coordenadas esféricas, o laplaciano de
é dado por:
Isso porque, para funções que dependem apenas de
, os termos angulares do laplaciano desaparecem.
Passo 3
Agora, substituímos o laplaciano na equação harmônica
:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, isolamos
:
E então, integramos novamente em relação a
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Portanto, a solução geral para a função harmônica radial em
é:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas por condições de contorno específicas.
Resposta
A solução geral das funções harmônicas radiais em
é
onde
e
são constantes e
.