Utilize as regras e resultados sobre derivação parcial e diferenciabilidade discutidos em sala para resolver as seguintes questões.
(2 pontos) Apresente um exemplo de uma função com mais de uma váriavel que seja contínua em um ponto, mas não seja diferenciável neste ponto.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função de duas variáveis que seja contínua num ponto, mas não seja diferenciável nesse ponto. O conteúdo envolve continuação em \R^2 e o conceito de diferenciabilidade, isto é, existência de aproximação linear pelo diferencial naquele ponto.

Passo 2

Definimos a função
f\colon \R^2 \to \R, \quad f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}.
Vamos estudar o ponto (0,0).

Passo 3

Mostramos que f é contínua em (0,0). De fato, para todo (x,y) temos
0 \le f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2} = \|(x,y)\|,
onde \|(x,y)\| é a norma usual em \R^2. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \|(x,y)\| = 0 = f(0,0).
Isso prova a continuidade em (0,0).

Passo 4

Para testar a diferenciabilidade em (0,0), supomos que exista um diferencial linear L\colon\R^2\to\R tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(0+h,\,0+k) - f(0,0) - L(h,k)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0.
Como f(0,0)=0, escrevemos
\frac{f(h,k) - L(h,k)}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \frac{\sqrt{h^2 + k^2} - L(h,k)}{\sqrt{h^2 + k^2}}.
O mais natural é tentar L=0 (gradiente zero), então precisamos ver se
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{\sqrt{h^2 + k^2}}{\sqrt{h^2 + k^2}}
vai a zero. Se escolhermos a direção k = h, temos
\frac{\sqrt{h^2 + h^2}}{\sqrt{h^2 + h^2}} = \frac{|h|\sqrt{2}}{|h|\sqrt{2}} = 1 \quad\text{para }h\neq0.
Portanto esse quociente não tende a zero, mas a 1. Logo não existe escolha de L que torne o limite zero, e f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

Um exemplo simples é
f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2},
que é contínua em (0,0) mas não diferenciável nesse ponto.

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