Utilize as regras e resultados sobre derivação parcial e diferenciabilidade discutidos em sala para resolver as seguintes questões.
(2 pontos) Se h(u, v)=e^{x(u, v)} \ln (y(u, v)) \operatorname{com} x(u, v)=\ln (u \cos v) e y(u, v)=u \operatorname{sen}(v) calcule as derivdas parciais de h com respeito as variáveis u e v.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
h(u,v)=e^{x(u,v)}\ln\bigl(y(u,v)\bigr),
com
x(u,v)=\ln\bigl(u\cos v\bigr), \quad y(u,v)=u\sin v.
O conteúdo envolve derivadas parciais de função composta, então vamos aplicar a regra da cadeia para multivariáveis: se definirmos
f(x,y)=e^x\ln(y),
então \displaystyle h(u,v)=f\bigl(x(u,v),\,y(u,v)\bigr) e \displaystyle \frac{\partial h}{\partial u}=f_x\,x_u+f_y\,y_u, \displaystyle \frac{\partial h}{\partial v}=f_x\,x_v+f_y\,y_v.

Passo 2

Primeiro calculemos as derivadas parciais de \displaystyle f(x,y)=e^x\ln(y):
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^x\ln(y)\bigr) =e^x\ln(y),
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^x\ln(y)\bigr) =e^x\frac{1}{y}.

Passo 3

Agora as derivadas parciais de x(u,v) e y(u,v):
x(u,v)=\ln(u\cos v) \;\Longrightarrow\; x_u=\frac{1}{u},\quad x_v=-\tan(v),
y(u,v)=u\sin v \;\Longrightarrow\; y_u=\sin(v),\quad y_v=u\cos(v).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em u:
\frac{\partial h}{\partial u} =f_x\,x_u+f_y\,y_u =e^x\ln(y)\cdot\frac{1}{u} +e^x\frac{1}{y}\cdot\sin(v).
Sabendo que e^x=e^{\ln(u\cos v)}=u\cos v e y=u\sin v, temos
\frac{\partial h}{\partial u} =u\cos v\frac{\ln(u\sin v)}{u} +u\cos v\frac{\sin v}{u\sin v} =\cos v\ln(u\sin v)+\cos v =\cos v\bigl(\ln(u\sin v)+1\bigr).

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia em v:
\frac{\partial h}{\partial v} =f_x\,x_v+f_y\,y_v =e^x\ln(y)\,(-\tan v) +e^x\frac{1}{y}\,(u\cos v).
Substituindo e^x=u\cos v e y=u\sin v:
\frac{\partial h}{\partial v} =u\cos v\bigl[-\ln(u\sin v)\tan v\bigr] +u\cos v\frac{u\cos v}{u\sin v} =-u\cos v\ln(u\sin v)\,\frac{\sin v}{\cos v} +\frac{u\cos^2 v}{\sin v}
=-\,u\sin v\ln(u\sin v) +\;u\,\frac{\cos^2 v}{\sin v}.

Resposta

\frac{\partial h}{\partial u} =\cos v\bigl(\ln(u\sin v)+1\bigr),
\frac{\partial h}{\partial v} =-\,u\sin v\ln(u\sin v) +\;u\,\frac{\cos^2 v}{\sin v}.

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