Considere a função
f(x, y)=cc 6 x^3+2 x y^23 x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) -2, & se (x, y)=(0,0)
Calcule o limite lim (x, y) (-1 / 2,1 / 2) f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 6x^3+2xy^23x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),[6pt] -2,&(x,y)=(0,0),
e pede
lim(x,y)to(-tfrac12,tfrac12)f(x,y).
Como o ponto l(-tfrac12,tfrac12r) não é (0,0), resta analisar o ramo racional. Sabendo que funções racionais são contínuas onde o denominador não se anula, podemos substituir diretamente, desde que verifiquemos que o denominador em l(-tfrac12,tfrac12r) é diferente de zero.]

Passo 2

Calculemos o denominador em l(-tfrac12,tfrac12r):
3l(-tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^2 =3cdottfrac14+tfrac14 =tfrac34+tfrac14 =1neq0
Logo, a expressão é contínua nesse ponto e o limite coincide com o valor da fração avaliada em l(-tfrac12,tfrac12r).

Passo 3

Escrevemos
lim(x,y)to(-tfrac12,tfrac12) 6x^3+2xy^23x^2+y^2 = 6(-tfrac12)^3+2(-tfrac12)(tfrac12)^2 3(-tfrac12)^2+(tfrac12)^2

Passo 4

Calculamos separadamente o numerador e o denominador:
O numerador é
6l(-tfrac12r)^3 +2l(-tfrac12r)l(tfrac12r)^2 =6cdotl(-tfrac18r) +2cdotl(-tfrac12r)cdottfrac14 =-tfrac68-tfrac14 =-tfrac34-tfrac14 =-1
O denominador já vimos que vale 1. Portanto a fração é
-11=-1

Resposta

-1

Exercícios relacionados