Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=y-4raizx^2-y^2+ln (3-x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função de duas variáveis
f(x,y)=y-4raizx^2-y^2+ln(3-x)
Isso envolve dois requisitos: o radical no denominador e o argumento do logaritmo.

Passo 2

Para que raizx^2-y^2 seja real e não zero no denominador, precisamos de
x^2-y^2>0
Isto significa que os pares (x,y) estão fora da região onde x^2-y^2<=0.

Passo 3

Para que o logaritmo natural esteja definido, o argumento deve ser positivo:
3 - x > 0 Longrightarrow x<3

Passo 4

Unindo as duas condições, o domínio D é
D=(x,y)inR^2mid x^2-y^2>0 e x<3

Passo 5

A desigualdade x^2-y^2>0 descreve o interior de duas “folhas” de hipérbole, dado por
x>|y|ou x<-|y|
Impondo ainda x<3, temos duas partes do domínio:
  1. A região à direita da hipérbole, onde |y|<x<3.
  2. A região à esquerda da hipérbole, onde x<-|y| (essa já satisfaz x<3 automaticamente).

Resposta

O domínio de f é
D=(x,y)inR^2mid x^2-y^2>0,;x<3,
ou seja, as duas folhas abertas da hipérbole x^2-y^2=0, limitadas à esquerda por x<-|y| e à direita por |y|<x<3.
Esboço:
  • Trace as retas y=x e y=-x.
  • Sombreie a região fora delas tanto para x<-|y| (folha esquerda) quanto para |y|<x<3 (folha direita cortada pela reta vertical x=3).

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