Calcule o limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) ou mostre que esse limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, f(x, y) , e precisamos calcular o limite dela quando (x, y) se aproxima de (0, 0) . A matéria envolvida aqui é limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função conforme nos aproximamos do ponto (0, 0) por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função. Quando (x, y) não é (0, 0) , a função é:
f(x, y) = y^2 - x^2x^2 + y^2
E no ponto (0, 0) , a função vale 2. Queremos ver se, ao nos aproximarmos de (0, 0) por qualquer caminho, a função tende a um único valor.
Passo 3
Uma estratégia comum para verificar se o limite existe é calcular o limite ao longo de diferentes caminhos e ver se os resultados coincidem. Se encontrarmos dois caminhos que dão limites diferentes, isso significa que o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos começar calculando o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0 . Substituindo na função:
f(x, 0) = 0^2 - x^2x^2 + 0^2 = -x^2x^2 = -1
Então, ao nos aproximarmos de (0, 0) ao longo do eixo x, o limite é -1.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo y, onde x = 0 :
f(0, y) = y^2 - 0^20^2 + y^2 = y^2y^2 = 1
Então, ao nos aproximarmos de (0, 0) ao longo do eixo y, o limite é 1.
Passo 6
Percebemos que ao nos aproximar pelo eixo x o limite é -1, e pelo eixo y é 1. Como os limites são diferentes, isso indica que o limite geral da função f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0, 0) não existe.
Resposta
O limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, já que diferentes caminhos de aproximação resultam em limites distintos.