Determine se o limite existe ou não, e calcule os valores no caso existirem
lim (x, y) (-3,-3) 2 x^2-5 x y+3 y^2x^2-y^2

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar o limite de uma função de duas variáveis
f(x,y)=2x^2-5xy+3y^2x^2-y^2
quando (x,y)to(-3,-3).
O conteúdo aqui é limite de funções de várias variáveis e a técnica principal será fatorar e simplificar a expressão.

Passo 2

Tentando a substituição direta em (x,y)=(-3,-3), o numerador e o denominador ficam
2(-3)^2-5(-3)(-3)+3(-3)^2=18-45+27=0,
(-3)^2-(-3)^2=9-9=0,
ou seja, obtemos a forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, fatoramos o numerador e o denominador:
2x^2-5xy+3y^2=(2x-3y)(x-y),
x^2-y^2=(x-y)(x+y)

Passo 4

Como xneq y em pontos próximos de (-3,-3), podemos cancelar o fator comum (x-y), ficando
f(x,y)=2x^2-5xy+3y^2x^2-y^2 =(2x-3y)(x-y)(x-y)(x+y) =2x-3y,x+y,

Passo 5

Agora o limite reduz-se a uma substituição simples na função
g(x,y)=2x-3yx+y
quando (x,y)to(-3,-3):
lim(x,y)to(-3,-3)g(x,y) =2(-3)-3(-3)-3-3 =-6+9-6 =3-6 =-12

Resposta

O limite existe e vale -tfrac12.

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