Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral dx2^x+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral dx2^x+3
O conteúdo da matéria envolve usar uma substituição que transforme 2^x numa variável u e depois aplicar frações parciais para integrar uma função racional em u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2^x,
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dudx = 2^xln 2 = u,ln 2 Longrightarrow dx = duu,ln 2
No integrando substituímos 2^x=u e dx por du/(uln 2), ficando
integral dx2^x+3 = integral 1u+3,duu,ln 2 = 1ln 2,integral duu(u+3)

Passo 3

Vamos decompor
1u(u+3) = Au + Bu+3
Igualando numeradores:
1 = A(u+3) + B,u = (A+B),u + 3A
Comparando coeficientes obtemos
A+B = 0, 3A = 1 Longrightarrow A = tfrac13,; B = -tfrac13
Assim
1u(u+3) = 1/3u - 1/3u+3

Passo 4

Substituindo na integral em u:
1ln 2integral duu(u+3) = 1ln 2integrall(1/3u - 1/3u+3r)du = 13ln 2l(ln|u| - ln|u+3|r) + C

Passo 5

Voltando à variável x com u=2^x, concluímos
integral dx2^x+3 = 13ln 2,ln!gl|2^x2^x+3gr| + C

Resposta

boxed integral dx2^x+3 = 13ln 2,ln!l(2^x2^x+3r) + C

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